○黄金分割
  黄金比をもつ長方形は古くから、もっとも調和のとれた長方形といわれている。古代ギリシアの建造物や美術・工芸品には、黄金比や黄金比長方形に近似する比や形をもつものがしばしば見受けられる。たとえば、アテネのパルテノン神殿の輪郭は黄金比長方形に近い。また、ルネサンス期イタリアの万能人であったレオナルド・ダ・ビンチは黄金比の長方形を活用して絵を描いたともいわれている。身近には名刺(9.1×5.5cm)、キャッシュカード(8.5×5.4cm)は、ほぼ縦横比が1.6である。
黄金比の縦横比を持つ長方形は図の□ABPQで、AD辺の長さを1とし長辺APの長さをxとしたとき
AP    x     BC     1
   ── = ── = ── = ─── 
AD    1    BP    x−1
の関係にある。

また、この長方形APQDよりABCDの正方形を除いた長方形BPQCは元のAPQDに相似形である。
上の式よりxを求めると
   x(x−1)=1
   x−x−1=0
の根で
   x=(1+√5)/2 ≒1.6180
約1.6となる。
○黄金分割の作図
 黄金分割をコンパスと定規で作図するには、1辺が2aの正方形ABCDを作り、ABの中点Mを採る。
   MB=a 、BC=2a であるから MC=MB+BC ∴MC=√5a
MCを半径として、MBの延長上にPを採る。
 □APQDが求める図形となる。

○正五角形
 正五角形の辺と対角線は黄金比になっている。
 正五角形の対角線は交わる対角線を黄金比に分ける。
このように正五角形は黄金比を秘めているので、先の黄金分割の作図法を使って作図出来る。
@正五角形の一つの辺をABとしBに垂線BCをたてる、
ABを中心とし、半径AB=aで円弧を描き(円弧a)、垂線BCの交点Cを求める
BABの中点Mを中心にし、半径MC=bで円弧を描き(円弧b)、ABの延長線上にPを求める
CAを中心に、半径AP=cの円弧を描き(円弧c)、Bを中心に同じ半径cで描いた円弧(円弧c’)との交点Rを求める。Rは求める正五角形の頂点となる。
C’RはMよりたてた垂線との交点でもある。
D 円弧cと円弧aの交点Q,c',a'の交点Sは共に頂点である。
EAR,BRは対角線である。
 対角線QSは対角線AR,BRをそれぞれ黄金比に分け、またMRをも同じ比に分けている。
右の図で外の多角形を外した星形は、左がソロモンの星(五芒星)、右はダビデの星(六芒星)と呼ばれる。
ソロモンの星は呪術を封じる護符であり、ダビデの星は呪術を召還する呪符でもある。
 特に 対角線で出来る五芒星は一筆描き
も出来る星であり、その中にまた正五角形が生成されるので、輪廻・再生の概念も含まれると考えられる。
東洋易学では、五角形の頂点を木とし、右回りに火→土→金→水と対応させ陰陽道の五行と関係つけている。陰陽師阿部晴明の紋章「晴明桔梗」として使われている。
五行は 木−生命 火−結合 土−空間 金−物質 水−移動 に対応し、物質主観的な西洋の四大(地水火風)・インドの五大(地水火風空)とは異なり、木に象徴される生命の要素が含まれ相互作用、輪廻の考えが入る。
 相互作用には、5辺を順に右回りする五行相性(左の性が右を支える)と、一つ次の角を結ぶ対角線の五行相剋(左の性が右を押さえる)関係がある。
五行相剋を順に結ぶと、一筆描きで五芒星の形が出来上がる。
五行相生
   木生火 木を擦り合わせて火をおこし、火に木をくべて大きくする
   火生土 火が燃えると灰ができ、土に戻る
   土生金 土の中で金属が出来、それを掘り出す
   金生水 金属を空気にさらすと湿気が結露して水滴となる
   水生木 木は水を吸って養われ育つ
五行相剋
   木剋土 木は根を張って土中の養分を吸い上げ、土がやせる
   土剋水 土は水の流れを遮り、堰とめる、土がが入ると水は汚れる
   水剋火 水を掛けると火は消える
   火剋金 火は金属を溶かす
   金剋木 金属は斧となって大木をも切る
木火土金水の他下の表のように割り当てられる。
  
五行
五色
五方 中央 西
五時 土用
五事
五星 歳星
(木星)
螢惑
(火星)
填星
(土星)
太白
(金星)
辰星
(水星)
五臓
五常
五味
五声
十干 甲・乙 丙・丁 戊・己 庚・辛 壬・癸
十二支 寅・卯
(辰)
巳・午
(未)
辰・未
戌・丑
申・酉
(戌)
亥・子
(丑)
易卦   ━ ━
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(震)
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(離)
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  ━━━
(兌)
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(坎)
旧一・二・
三月
四・五・
六月
七・八・
九月
十・十一・
十二月
 
正多角形の面白さ
@正三角形:3つの辺の長さが決まれば形が変わらない普遍性を持つ。
A正四角形:もっとも使いやすい形で、対抗する2辺が並行なため、住居、家具・什器に多く用いられる。4辺の長さだけでは形が決まらず不安定なので、対角線に筋交いを入れて二つの三角形として決定する。
B正五角形:すべての対角線で囲まれた五角形を作る。
 このことは、六角形以上の多角形では成立しない、1つの頂角に3本以上の対角線を持つので、元の多角形が分割される。
C正六角形:この形だけで平面に敷き詰められる最後の多角形となる。また五角形と組み合わせて立体を作る。(サッカーボール)
D正n角形:一つの頂点から出る辺と対角線は、その頂角を通る接線をn等分する。